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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
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\newcommand{\C}[0]{\mathbb{C}}
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\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Abb}{Abb}


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\usepackage{todonotes}
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\newcommand{\rot}[1]{{\color{red} #1}}


\begin{document} 


	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Michele Serra, Sarah Tanja Hess \hfill Sommersemester~2021
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebra II \\
		\normalsize Blatt 6 \\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor:} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung sind alle Resultate des Skriptes der Algebra II zulässig.
	 Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	
	\noindent\rule[1ex]{\textwidth}{1pt}
	
	\textbf{Notation} \\
	Sei $\infty$ ein gegenüber $\Z$ neues Element mit $n+\infty:=\infty=:\infty+n$ für alle $n\in\Z\cup\{\infty\}$. \\
	
	\textbf{Definition} \\
	Sei $K$ ein Körper.
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item Eine surjektive Abbildung $v\colon K \to \Z\cup\{\infty\}$ ist eine \textit{diskrete Bewertung}, falls für alle $a,b\in K$
			\begin{enumerate}[(i)]
				\item $v(ab)=v(a)+v(b)$,
				\item $v(a)=\infty \Leftrightarrow a=0$ und
				\item $v(a+b)\geq\min\{v(a),v(b)\}$
			\end{enumerate} erfüllt ist. 
		\item Für eine diskrete Bewertung $v$ ist der Unterring $R_v:=\{a\in K \mid v(a)\geq 0\}$ von $K$ der zugehörige \textit{diskrete Bewertungsring}.
	\end{enumerate}

	\noindent\rule[1ex]{\textwidth}{1pt} \\
	
	
	\textbf{Aufgabe 6.1} \hfill 	\textbf{[1+1+1+1 Punkte]}
	\\[3pt] Sei $K$ ein Körper, $v\colon K \to \Z\cup\{\infty\}$ eine diskrete Bewertung, $R_v$ der zugehörige Bewertungsring, $r\in R_v\backslash\{0\}$ und $t\in R_v$ erfülle $v(t)=1$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Zeigen Sie, dass $r$ genau dann eine Einheit in $R_v$ ist, wenn $v(r)=0$ gilt.
		\item Beweisen Sie die Existenz eines geeigneten $n\in\N_0$ und $u\in R_v^\times$ mit $r=ut^n$.
		\item Zeigen Sie, dass $R_v$ ein ganz abgeschlossener Hauptidealbereich ist.
		\item Beweisen Sie die Existenz eines eindeutigen nicht-trivialen Primideals von $R_v$.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:}
	
	\newpage
	\textbf{Aufgabe 6.2} \hfill 	\textbf{[1+1+1+1 Punkte]}
	\\[3pt] Sei $R$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit einem eindeutigen maximalen Ideal $\mathfrak{m}=\langle t \rangle$ für ein geeignetes $t\in R$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Zeigen Sie, dass $R$ ein Hauptidealbereich ist.
		\item Beweisen Sie die Existenze eines eindeutigen nicht-trivialen Primideals von $R$.
	\end{enumerate}
	Sei nun ferner $K:=\mathrm{Quot}(R)$ der Quotientenkörper von $R$ und $k\in K^\times$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Beweisen Sie die Existenz eines eindeutigen $n\in\Z$ und eines eindeutigen $u\in R^\times$ mit $k=ut^n$.
		\item Zeigen Sie, dass $R$ ein diskreter Bewertungsring ist.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:}
		
	\
	
	\textbf{Aufgabe 6.3} \hfill 	\textbf{[4 Punkte]}
	\\[3pt] Sei $R$ ein Integritätsbereich. Zeigen Sie, dass $R$ genau dann ein Dedekindring ist, wenn $R$ noethersch ist und die Lokalisierung $R_{\mathfrak{m}}$ für jedes maximale Ideal $\mathfrak{m}$ von $R$ als diskreter Bewertungsring aufgefasst werden kann. \\
	
	\emph{Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass wenn für jedes maximale Ideal $\mathfrak{m}$ von einem Integritätsbereich $R$ die Lokalisierung $R_\mathfrak{m}$ ganz abgeschlossen ist, dann auch $R$ ganz abgeschlossen ist.} \\
	
	\textbf{Lösung:}
	
	\

	\textbf{Aufgabe 6.4*} \hfill 	\textbf{[1+1+1+1 Punkte]}
		\\[3pt] Sei $R$ ein kommutativer Ring mit $1$ und $S$ eine multiplikative Teilmenge von $R$ mit $0\not\in S$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Zeigen Sie, dass $R$ genau dann lokal ist, wenn $R\backslash R^\times$ ein Ideal von $R$ ist.
		\item Zeigen Sie, dass falls $R$ ein noetherscher Integritätsbereich ist, dann auch $S^{-1}R$ noethersch ist.
		\item Zeigen Sie, dass falls $R$ ein Dedekindring ist, dann auch $S^{-1}R$ ein Dedekindring ist.
		\item Erarbeiten Sie ein Beispiel für einen faktoriellen Ring der kein Dedekindring ist.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:}
	
	\
	
	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Donnerstag, den 10.\ Juni 2021, um 10:00 Uhr}, direkt an den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
\end{document}